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Introducción a la programación lineal
■ Piensa y calcula
Escribe
una función f(x, y) que calcule los ingresos que se obtienen al vender x
chaquetas a 30 € e y pantalones a 20 €
DEFINICION
La programación lineal es actualmente la
técnica matemática utilizada más actualmente gracias a que el algoritmo simplex
es muy eficiente y al desarrollo de la computación.
Lo que se busca con la aplicación de la
programación lineal es resolver problemas comunes y a la vez muy variados de la
empresa en donde en general se tienen necesidades por satisfacer con cierto
número de recursos limitados o escasos y con el objetivo de lograrlo en forma
óptima. Esto significa la búsqueda de un valor máximo cuando se trata de
beneficios; o bien la búsqueda de un mínimo cuando se trata de esfuerzos a
desarrollar.
Entérate!!!
Un modelo de programación lineal es un
conjunto de expresiones matemáticas las cuales deben cumplir la característica
de linealidad que puede cumplirse siempre y cuando las variables utilizadas
sean de primer grado. Además un modelo de P.L debe tener las propiedades de:
·
Proporcionalidad
·
Aditividad
(adición)
·
Divisibilidad
·
Certidumbre(certeza)
Para poder solucionar un problema mediante un algoritmo
primero se debe extraer toda la información que nos aporta el enunciado y
preparar el problema para dicho algoritmo.
Los pasos para modelar un problema son los siguientes:
Sigue estos pasos al pie de la letra!!!
·
Paso 1: Se determinan las variables de decisión y se
expresan algebraicamente.
o
X1,..., Xn
·
Paso 2: Se determina la función objetivo.
o
Maximizar o minimizar Z = C1·X1 + C2·X2 + ... + Cn·Xn
·
Paso 3: Se determinan las restricciones y se expresan
como ecuaciones o inecuaciones de las variables de decisión:
o
A11·X1 + A12·X2 + ... + A1n·Xn ≥, ≤, ó = b1
o
A21·X1 + A22·X2 + ... + A 2n·Xn ≥, ≤, ó = b2
o
...
o
Am1·X1 + Am2·X2 + ... + Amn·Xn ≥, ≤, ó = bm
·
Paso 4: Se expresan todas las condiciones implícitamente
establecidas por la naturaleza de las variables: que no puedan ser negativas,
que sean enteras, que solo puedan tomar determinados valores, ...
o
X1,..., Xn ≥ 0
o
X1,..., Xn son números enteros, o son booleanos,...
● Aplica la teoría
Ejemplo:
Problema de mezcla de productos.
Un fabricante está tratando de
decidir sobre las cantidades de producción para dos artículos: mesas y sillas.
Se cuenta con 96 unidades de material y con 72 horas de mano de obra. Cada mesa
requiere 12 unidades de material y 6 horas de mano de obra. Por otra parte, las
sillas usan 8 unidades de material cada una y requieren 12 horas de mano de
obra por silla. El margen de contribución es el mismo para las mesas que para
las sillas: $5.00 por unidad. El fabricante prometió construir por lo menos dos
mesas.
Animo,
tú puedes entender esto:
El primer paso para resolver el
problema es expresarlo en términos matemáticos en el formato general de PL.
¿Cuál es el objetivo? Es maximizar la contribución a la ganancia. Cada unidad
de mesas o sillas producidas contribuirá con $5 en la ganancia. Así las dos
alternativas son la producción de mesas y la producción de sillas. Ahora puede
escribirse la función objetivo:
Maximizar
Z = 5x1 + 5x2
En
donde: x1 = número de
mesas producidas
x2 = número de sillas producidas
¿Cuáles son las restricciones o
limitaciones del problema? Existen tres restricciones. Primero, el material
está limitado a 96 unidades. Cada mesa se lleva 12 unidades de material y cada
silla usa 8 unidades. La primera restricción es, entonces:
12x1 +
8x2 ≤ 96
La segunda restricción es el total
de horas de mano de obra. Una mesa se lleva 6 horas, una silla 12 horas y se
dispone de un total de 72 horas. Así:
6x1 +
12x2 ≤ 72
Existe una limitación más. El
fabricante prometió producir por lo menos dos mesas. Esto puede expresarse
como:
x1 ≥
2
Por último, las restricciones de no
negatividad son:
x1 ≥ 0,
x2 ≥ 0
Poniendo todo junto el modelo se
tiene:
Maximizar Z = 5x1 + 5x2
Restricciones: 12x1 + 8x2 ≤96
6x1 + 12x2 ≤ 72
x1 ≥2
x1 ≥0, x2 ≥ 0
