Modelos

APLICACIONES DE LA 

PROGRAMACIÓN LINEAL

1.APLICACIONES DE LA PROGRAMACIÓN 

LINEAL EN MARKETING

1.1SELECCIÓN DE MEDIOS PUBLICITARIOS

La Programación Lineal se utiliza en el campo del marketing y la publicidad como una herramienta que nos permite determinar cuál es la combinación más efectiva de medios para anunciar nuestros productos. En muchas ocasiones partiremos de un presupuesto para publicidad fijo y nuestro objetivo será distribuirlo entre las distintas opciones que se nos ofrecen (televisión, radio, periódicos, revistas, etc.) de forma que nuestros productos tengan la mayor difusión posible. En otros casos, las restricciones no serán presupuestarias sino que vendrán dadas por la disponibilidad de cada medio y por las políticas publicitarias de nuestra propia empresa.

Supongamos, por ejemplo, que trabajamos para una cadena nacional de bingos, el director de la cual nos otorga un presupuesto de 8.000 € por semana para publicidad. Este dinero debe dedicarse a publicar anuncios en cuatro tipos de medios de difusión: TV, periódicos, y dos emisoras de radio. Nuestro objetivo final no será otro que el de conseguir la mayor audiencia posible. En el cuadro que se muestra a continuación se recoge información referente a la audiencia esperada por anuncio, el coste del mismo, y el nº máximo de anuncios que es posible insertar en cada medio por semana:

MEDIO	AUDENCIA POR ANUCIO	COSTE POR ANUNCIO (€)	N° MÁXIMO POR SEMANA
TV	5.000	800	12
Periódico	8.500	925	5
Radio 1	2.400	290	25
Radio 2	2.800	380	20

Además, los acuerdos contractuales de nuestra empresa requieren la contratación al menos 5 anuncios de radio por semana, aunque la dirección insiste en no dedicar a este medio más de 1.800 € por semana. Usaremos LINDO para plantear y resolver este problema:

SELECCIÓN DE MEDIOS

Variables

X₁= “anuncios en TV por semana”

X₂=  “anuncios en periódico por semana”

X₃= “anuncios en radio 1 por semana”

X₄= “anuncios en radio 2 por semana”

Función objetivo

Función objetivo (maximizar) = 5000 X₁ + 8500 X₂ + 2400 X₃ + 2800 X₄

Restricciones

Número máximo por semana

X₁ <= 12

X₂ <= 5

X₃ <= 25

X₄ <= 20

Coste por anuncio (€)

800 X₁ + 925 X₂ +290 X₃ + 380 X₄ <= 8000

Acuerdos contractuales

      X₃ +       X₄ >= 5

290 X₃ +380 X₄ <= 1800

R./ Por tanto, la forma más efectiva de distribuir nuestro capital en base a las condiciones preestablecidas, será emitiendo dos anuncios semanales en televisión, 5 en el periódico, y 6 en la radio 1. Ello hará que unos 66.900 potenciales compradores conozcan nuestros productos.

1.2 ESTUDIOS DE MERCADO

La programación lineal es aplicable también a la investigación de mercados. En el siguiente ejemplo se muestra cómo los estadísticos pueden hacer uso de la Programación Lineal a la hora de diseñar encuestas:

Supongamos que pretendemos realizar una encuesta para determinar la opinión de los españoles acerca del problema de la inmigración. A fin de que la misma sea significativa desde un punto de vista estadístico, exigiremos que ésta deba cumplir los siguientes requisitos:

1. Entrevistar al menos un total de 2.300 familias españolas.

2. De las familias entrevistadas, al menos 1.000 deben cumplir que su cabeza de familia no supere los 30 años de edad.

3. Al menos 600 de las familias entrevistadas tendrán un cabeza de familia con edad comprendida entre los 31 y los 50 años.

4. El porcentaje de entrevistados que pertenecen a zonas con elevada tasa de inmigración no debe ser inferior a un 15% del total.

5. Finalmente, no más de un 20% de los entrevistados mayores de 50 años pertenecerán a zonas con alta tasa de inmigración.

Además, todas las encuestas deberán realizarse en persona. A continuación indicamos el coste estimado de cada encuesta según la edad del encuestado y si procede o no de una zona con una alta tasa de inmigración:

ZONA	EDAD < 31 AÑOS	EDAD 31 - 50	EDAD > 50
Tasa de inmig. Elevada	7.50 €	6.80 €	5.50 €
Tasa de inmig. baja	6.90 €	7.25 €	6.10 €

Obviamente, nuestro objetivo será cumplir todos los requisitos anteriores minimizando el coste:

ESTUDIO DE MERCADO – ENCUESTA

Variables

I₃ = “n° encuestados de edad <= 30 y que viven en zonas de mucha inmigración”

I₄ = “n° encuestados de edad entre 31- 50 que viven en zonas de mucha inmigración”

I₅ = “n° encuestados de edad > 50 que NO viven en zonas de mucha inmigración”

N₃ = “n° encuestados de edad<= 30 y que NO viven en zonas de mucha inmigración”.

N₄ = “n° encuestados de edadentre 31-50 que NO viven en zonas de mucha inmigración”.

N₅ = “n° encuestados de edad > 50 que NO viven en zonas de mucha inmigración”.

Función objetivo

Función obj. (Minimizar) = 7.50 I₃ + 6.80 I₄ + 6.90 I₅ + 6.90 N₃ +7.25 N₄ +6.10 N₅

Restricciones

I₃ + I₄ + I₅ + N₃ + N₄ + N₅ >= 2300

I₃ +               N₃                   >= 1000

I₄ +                        N₄          >= 600

I₃ + I₄ +I₅ – (0.15) I₃ – (0.15) I₄ – (0.15) I₅ – (0.15) N₃ – 0.15) N₄ – (0.15) N₅ >= 0

I₅ – (0.2) I₅ – (0.2) N₅ <= 0

Así pues, deberíamos realizar la encuesta exclusivamente a 600 individuos del tipo I4, a 140 del tipo I5, a 1.000 del tipo N3 y a 560 del tipo N5. Ello supondría unos costes estimados de 15.166 €.

2. APLICACIONES DE LA PROGRAMACIÓN 

LINEAL EN PRODUCCIÓN

2.1 COMBINACIÓN ÓPTIMA DE BIENES

A menudo las técnicas de PL permiten decidir sobre la cantidad más adecuada que una empresa debe producir de cada uno de sus productos a fin maximizar los beneficios sin dejar de cumplir con unos determinados requisitos (financieros, de demanda, contractuales, de disponibilidad de materias primas, etc.).

Una empresa dedicada a la elaboración y venta de ropa para hombre produce cuatro tipos de corbatas, una de seda, otra de poliester, y dos de poliester/algodón. La tabla siguiente muestra el coste de cada uno de estos materiales y su disponibilidad:

MATERIAL	COSTE POR METRO (€)	METROS DISPONIBLES/MES
Seda	21	800
Poliéster	6	3.000
Algodón	9	1.600

La empresa tiene contratos de larga duración para suministrar corbatas a cinco cadenas de tiendas de ropa. En dichos contratos se especifica que la empresa deberá suministrar unas cantidades mínimas mensuales de cada tipo de corbata y, que en caso de recibir una demanda superior al mínimo, será la propia empresa la que decida si puede o no servir la cantidad extra solicitada. A continuación aparecen los datos relevantes:

TIPO DE CORBATA	PRECIO DE VENTA (€)	MINIMO A SERVIR	DEMANDA MENSUAL	METROS NECESARIOS	COMPOSICION
Seda	6.70	6.000	7.000	0.125	100% seda
Poliéster	3.55	10.000	14.000	0.08	100% poliéster
Algodón # 1	4.31	13.000	16.000	0.10	50% poliéster 50% algodón
Algodón # 2	4.81	6.000	8.500	0.10	30%poliéster 70% algodón

El objetivo de la empresa es elegir el plan de producción que maximice sus beneficios mensuales.

Lo primero en este problema será determinar qué beneficios nos reporta cada una de las corbatas vendidas y fabricadas. Así por ejemplo, cada corbata de seda requiere de 0.125 metros de este material, a un coste de 21 € por metro, lo que nos da un coste por corbata de 2.62 €. Como la vendemos por 6.70 €, el beneficio que obtenemos será de 4.08 € por cada unidad producida y vendida. El mismo razonamiento se aplicará a los restantes tres tipos de corbata, con lo que obtendremos el siguiente planteamiento:

COMBINACIÓN DE BIENES A PRODUCIR

Variables

S = “N° corbatas de seda a producir”

P = N° corbatas de poliéster a producir”

A₁ = N° corbatas de algodón #1 a producir”

A₂ = N° corbatas de algodón #2 a producir”

Función objetivo

Función obj. (Maximizar) = 4.08 S + 3.07P + 3.56 A₁ + 4.00 A₂

Restricciones

0.125 S                                <= 800

0.08 P + 0.05 A₁ + 0.03 A₂ <= 3000

               0.05 A₁ + 0.07 A₂ <= 1600

S >= 6000

S <= 7000

P >= 10000

P <= 14000

A₁ >= 13000

A₁ <= 16000

A₂ >= 6000

A₂ <= 8500

Observar que la solución a nuestro caso será producir cada mes 6.400 corbatas de seda, 14.000 de poliéster, 16.000 de algodón #1, y 8.500 de algodón #2. Ello nos dará unos beneficios de 160.052 € por mes.

2.2 PLANIFICACIÓN DE LA PRODUCCIÓN

El establecer un plan de producción para un período de semanas o meses resulta ser una tarea difícil e importante en la mayoría de las plantas de producción. El director de operaciones debe considerar muchos factores: mano de obra, costes de inventario y almacenamiento, limitaciones de espacio, demanda, etc. Por lo general la mayoría de las plantas producen más de un bien, con lo que la tarea anterior se complica aún más. Como veremos en el siguiente ejemplo, el problema de la planificación se asemeja bastante al de la combinación óptima de bienes, pudiendo ser el objetivo maximizar beneficios o bien minimizar los costes de producción más almacenamiento.

La empresa Motores de Almazora, S.A. fabrica dos tipos de motores eléctricos los cuales vende a la compañía Electrodomésticos Villareal, S.A. Tres veces al año, el director de compras de esta última empresa envía a la primera un pedido que abarca los siguientes cuatro meses. A continuación se muestra una tabla con el pedido para el período enero-abril para cada modelo de motor:

MODELO	ENERO	FEBRERO	MARZO	ABRIL
ME3A	800	700	1.000	1.100
ME3B	1.000	1.200	1.400	1.400

La planificación de la producción en Motores de Almazora, S.A. debe considerar cuatro factores:

1. El deseo de producir el mismo nº de motores cada mes. Esto simplificaría la planificación y los horarios de trabajadores y máquinas.

2. La necesidad de mantener lo más bajo posible los costes de estucos. Esto sugiere que en cada mes se ha de ajustar la producción a lo estrictamente requerido en el mismo.

3. Limitaciones de almacenes, las cuales son de 3.300 unidades máximo de cada tipo.

4. La política de no despidos de la compañía, la cual garantiza que un mínimo de la capacidad productiva estará en activo cada mes. Concretamente se asegura un nivel no inferior a las 2.240 horas mensuales de mano de obra, pudiéndose ampliar tal recurso hasta las 2.560 horas mensuales si fuese necesario.

Deberemos tener en cuenta que los costes de producción son de 10 € por unidad de ME3A y de 6 € por unidad de ME3B, si bien debido a un acuerdo con los sindicatos, éstos costes se incrementarán en un 10% a partir del 1 de marzo. Además, cada motor de tipo ME3A que permanezca en estoc supone un coste de 0.18 € por mes, mientras que almacenar uno de tipo ME3B genera un coste de 0.13 € mensuales.

Por otro lado, se desea tener un inventario de seguridad de 450 ME3A y 300 ME3B a finales de abril. Indicar finalmente que cada ME3A requerirá de 1.3 horas de mano de obra, mientras que cada ME3B necesita de 0.9 horas.

PLAN DE PRODUCCIÓN

Variables

XAi = “n°de ME3A producidos durante el mes i”, donde i=1, 2, 3, 4.

XBi = “n°de ME3B producidos durante el mes i”

IAi = “n° de ME3A en inventario al final del mes i”

IBi = “n° de ME3B en inventario al final del mes i”

Función objetivo

Función obj. (Minimizar) = 10XA₁ + 10XA₂ + 11XA₃ + 11XA₄ + 6XB₁ + 6XB₂ + 6.6XB₃ + 6.6XB₄ + 0.18 IA₁ + 0.18 IA₂ + 0.18 IA₃ + 0.18 IA₄ + 0.13 IB₁ + 0.13 IB₂ + 0.13 IB₃ + 0.13 IB₄

Costes de producción y costes de inventario

Restricciones

XA1 – IA1 = 800   demanda de enero

XB1 – IB1 = 1000

XA2 + IA1 – IA2 = 700   demanda de febrero

XB2 + IB1 – IB2 = 1200

XA3 + IA2 – IA3 = 1000   demanda de marzo

XB3 + IB2 – IB3 = 1400

XA4 + IA3 – IA4 = 1100   demanda de abril

XB4 + IB3 – IB4 = 1400

IA4 = 450

IB4 = 300

IA1 + IB1 <= 3300

IA2 + IB2 <= 3300

IA3 + IB3 <= 3300

IA4 + IB4 <= 3300

1.3 XA1 + 0.9 XB1 >= 2240   mínimo uso de mano de obra en enero

1.3 XA1 + 0.9 XB1 <= 2560

1.3 XA2 + 0.9 XB2 >= 2240   mínimo de uso de manos de obra en febrero

1.3 XA2 + 0.9 XB2 <= 2560

1.3 XA3 + 0.9 XB3 >= 2240   mínimo de uso de manos de obra en marzo

1.3 XA3 + 0.9 XB3 <= 2560

1.3 XA4 + 0.9 XB4 >= 2240   mínimo de uso de manos de obra en abril

1.3 XA4 + 0.9 XB4 <= 2560

El ejemplo anterior nos muestra la elaboración de un plan de producción relativamente sencillo ya que sólo se consideran dos productos. Sin embargo, el mismo procedimiento usado aquí es aplicable a planes de producción con decenas de productos y centenares de restricciones.

3. APLICACIONES DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL A LA DISTRIBUCIÓN DE TAREAS

3.1 ASIGNACIÓN DE TRABAJOS

El objetivo aquí será asignar de la forma más eficiente posible un trabajo a cada empleado o máquina. Ejemplos de este tipo de asignación serían la distribución de coches patrulla por las calles de una ciudad o la destino de cada jefe de ventas a una determinada zona geográfica. 


El objetivo puede ser bien minimizar los tiempos o costes de desplazamiento, o bien maximizar la efectividad de las asignaciones.

Aparte de poder utilizar los algoritmos tradicionales (Simplex y Karmarkar), este tipo de problemas también puede resolverse usando técnicas especialmente diseñadas para sus características como el método húngaro, el cual necesita de menos iteraciones para dar con la solución.

Una propiedad particular de los problemas de asignación es que tanto los coeficientes tecnológicos cómo los términos independientes (right-hand-side) siempre toman el valor 1. Además, todas las variables serán binarias, tomando el valor 1 si la asignación propuesta se lleva a cabo y 0 en caso contrario.

Veamos un ejemplo:

Un gabinete de abogados tiene en su nómina cuatro hábiles licenciados en derecho a los cuales quiere utilizar de forma óptima asignando a cada uno el caso que más se ajuste a sus características. El 1 de marzo llegan a la compañía cuatro clientes en busca de asesoramiento, y el director del gabinete decide asignar cada caso a cada uno de sus cuatro empleados según sus especialidades y preferencias.

A continuación se muestra una tabla donde se estima la efectividad (valorada en una escala del 1 al 9) de cada trabajador para cada uno de los casos que presentan los clientes:

ABOGADO	DIVORCIO	FUSION EMPRESAS	ABSORCION EMPRESAS	EXHIBICIONISMO
A1	6	2	8	5
A2	9	3	5	8
A3	4	8	3	4
A4	6	7	6	4

DESPACHO DE ABOGADO

Variable

Para resolver esta situación, consideraremos las variables Xij, donde i = 1, 2, 3, 4 según abogado, y j = 1, 2, 3, 4 según caso. Así, la variable Xij tomará el valor 1 si el abogado i es asignado al caso j, y 0 en caso contrario.

Función objetivo

Función obj. (Max) = 6X₁₁ + 2X₁₂ + 8X₁₃ + 5X₁₄ + 9X₂₁ + 3X₂₂ + 5X₂₃ + 8X₂₄ + 4X₃₁ + 8X₃₂ + 3X₃₃ + 4X₃₄ + 6X₄₁ + 7X₄₂ + 6X₄₃ + 4X₄₄

Maximizamos la efectividad total

Restricciones

X₁₁ + X₂₁ + X₃₁ + X₄₁ = 1                 Caso divorcio

X₁₂ + X₂₂ + X₃₂ + X₄₂ = 1                 Caso fusión

X₁₃ + X₂₃ + X₃₃ + X₄₃ = 1                 Caso absorción

X₁₄ + X₂₄ + X₃₄ + X₄₄ = 1                 Caso exhibicionismo

X₁₁ + X₁₂ + X₁₃ + X₁₄ = 1                 Abogado 1

X₂₁ + X₂₂ + X₂₃ + X₂₄ = 1                 Abogado 2

X₃₁ + X₃₂ + X₃₃ + X₃₄ = 1                 Abogado 3

X₄₁ + X₄₂ + X₄₃ + X₄₄ = 1                 Abogado 4

Queda claro pues que el abogado 1 se ocupará del caso de absorción empresarial, el abogado 2 del caso de exhibicionismo, el abogado 3 del caso de la fusión, y el abogado 4 del divorcio.

3.2 PLANIFICACIÓN DE HORARIOS

La planificación de horarios intenta dar una respuesta efectiva a las necesidades de personal durante un período concreto de tiempo. La aplicación de la PL a este tipo de problemas resulta especialmente útil cuando los directivos disponen de cierta flexibilidad a la hora de asignar tareas a empleados polifuncionales. Un sector típico donde se hace uso de la PL para tomar decisiones sobre planificación de horarios son las entidades bancarias.

Supongamos que una oficina bancaria necesita diariamente entre 10 y 18 cajeros en función de la hora según se especifica en la tabla siguiente:

FRANJA HORARIA	N° DE CAJEROS NECESARIOS
9 a.m. – 10 a.m.	10
10 a.m. – 11 a.m.	12
11 a.m. – 12 a.m.	14
12 a.m. – 1 p.m.	16
1 a.m. – 2 p.m.	18
2 a.m. – 3 p.m.	17
3 a.m. – 4 p.m.	15
4 a.m. – 15 p.m.	10

En la actualidad la oficina tiene 12 trabajadores a jornada completa (“full-time”), y dispone de una larga lista de gente dispuesta a trabajar a media jornada (“part-time”). Un cajero que trabaje a media jornada ha de estar operativo 4 horas al día, y estar disponible para comenzar su trabajo a cualquier hora entre las 9 a.m. y la 1 p.m. Por su parte, los trabajadores a jornada completa están operativos de 9 a.m. a 5 p.m., teniendo libre una hora para comer (la mitad de ellos lo harán de 11 a.m. a 12 a.m. y la otra mitad de 12 a.m. a 1 p.m.). Observar que cada uno de estos cajeros tiene una jornada semanal de 35 horas.

Las normas de la entidad limitan el número de horas realizadas por los “part-time” a, como máximo, el 50% de las horas diarias requeridas. Los “part-time” ganan una media de 4 € la hora (es decir, 16 € al día), por 50 € diarios que ganan los “full-time”. El banco pretende establecer un horario que minimice sus costes salariales, estando dispuesto a desprenderse de algún trabajador “full-time” si ello resulta conveniente.

HORARIO BANCOS

Variables

F = “n° trabajadores full-time”

P1 = “n° trabajadores part-time operativos de 9 a.m. a 1 p.m.”

P2 = “n° trabajadores part-time operativos de 10 a.m. a 2 p.m.”

P3 = “n° trabajadores part-time operativos de 11 a.m. a 3 p.m.”

P4 = “n° trabajadores part-time operativos de 12 a.m. a 4 p.m.”

P5 = “n° trabajadores part-time operativos de 1 p.m. a 5 p.m.”

Función objetivo

Función obj. (Min.) = 50 F + 16 P1 + 16 P2 + 16 P3 + 16 P4 + 16 P5

Se quiere minimizar los costos salariales

Restricciones

F + P1                                               >= 10              Necesidades de 9 a.m. a 10 a.m.

F + P1 + P2                                      >= 12

0.5 F + P1 + P2 + P3                      >= 14

0.5 F + P1 + P2 + P3 + P4             >= 16

F +                  P2 + P3 + P4+ P5    >= 18

F +                          P3 + P4+ P5     >= 17

F +                                    P4+ P5    >= 15

F +                                             P5    >= 10

F <= 12

4P1 + 4P2 + 4P3 + 4P4 + 4P5 <= 56

Los part-time harán a lo sumo el 50% de la horas

4. APLICACIONES DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL A LAS FINANZAS

4.1 SELECCIÓN DE UNA CARTERA DE VALORES

Un problema al que se tienen que enfrentar de forma habitual los directivos de bancos, fondos de inversión, y compañías de seguros es la selección de una serie de inversiones concretas de entre la gran variedad de alternativas existentes en el mercado. Por norma general, el objetivo de estos directivos es maximizar los beneficios esperados de estas inversiones, las cuales se ven sometidas a un conjunto de restricciones, algunas legales y otras provenientes de la propia empresa (como puede ser el nivel de riesgo que se desea asumir o la cantidad máxima que se permite invertir).

Supongamos que nuestro banco se dedica a invertir en créditos al consumo, bonos corporativos, depósitos de oro, y préstamos a la construcción. Con el fin de diversificar la cartera de valores, la Junta Directiva del banco ha puesto límite a las cantidades que se permiten invertir en cada una de las opciones anteriores. En la actualidad disponemos de 5 millones de € para invertir, y pretendemos: (1) Maximizar el interés esperado para los próximos seis meses, y (2) cumplir con la diversificación propugnada por la Junta Directiva según se especifica en la tabla siguiente:

TIPO DE INVERSION	INTERÉS ESPERADO	LIMITE DE INVERSION (MILLONES DE €)
Crédito al consumo	7%	1.0
Bonos corporativos	11%	2.5
Depósitos de oro	19%	1.5
Prestamos a la construcción	15%	1.8

Además, la Directiva requiere que al menos un 5% de los fondos se dediquen a depósitos de oro y préstamos a la construcción, mientras que el porcentaje dedicado a créditos al consumo no debe superar el 15%.

SELECCIÓN DE UNA CARTERA

Variables

X1 = “Cantidad invertida en créditos al consumo”

X2 = “Cantidad invertida en bonos corporativos”

X3 = “Cantidad invertida en depósitos de oro”

X4 = “Cantidad invertida en préstamos a la construcción”

Función objetivo


Función obj. (Max.)= 0.07 X1 + 0.11 X2 + 0.19 X3 + 0.15 X4




Restricciones

X1 <= 1.000.000

X2 <= 2.500.000

X3 <= 1.500.000

X4 <=1.800.000

X3 + X4 – 0.55X1 – 0.55X2 – 0.55X3 – 0.55X4 >= 0

X1- 0.15X1 – 0.15X2 – 0.15X3 – 0.15X4 >= 0

X1 + X2 + X3 + X4 <= 5.000.000

5. APLICACIONES DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL A LA LOGÍSTICA

5.1 El PROBLEMA DEL TRANSPORTE

El llamado problema del transporte se refiere al proceso de determinar el número de bienes o mercancías que se han de transportar desde cada uno de los orígenes a cada uno de los destinos posibles. El objetivo suele ser minimizar costes de transporte, y las restricciones vienen dadas por las capacidades productivas de cada origen y las necesidades de cada destino. Este tipo de problema es un caso específico de PL, por lo que existen métodos y algoritmos especiales que facilitan su resolución (Regla de la Esquina NorOeste, Método de Vogel, Método de Paso Secuencial, y Método de distribución modificada o MODI).

Una compañía de ámbito nacional produce y distribuye una línea de bicicletas de alta competición. La empresa tiene líneas de montaje en dos ciudades, Castellón y Sabadell, mientras que sus tres principales cadenas de distribución están localizadas en Madrid, Barcelona, y Vitoria.

La oficina de Madrid presenta una demanda anual de 10.000 bicicletas, mientras que la de Barcelona solicita 8.000 y la de Vitoria 15.000. La planta de Castellón puede producir hasta 20.000 bicicletas anuales, por 15.000 la de Sabadell. Los costes de transporte por unidad son los siguientes:

DESTINO
ORIGEN	Madrid	Barcelona	Victoria
Castellon	2 €	3 €	5 €
Sabadell	3 €	1 €	4 €

La compañía pretende establecer un plan de distribución que minimice sus costes anuales de transporte.

EL PROBLEMA DEL TRANSPORTE

Variables

CM = “n° bicicletas a transportar desde Castellon hasta Madrid”

CB = “n° bicicletas a transportar desde Castellon hasta Barcelona”

CV = “n° bicicletas a transportar desde Castellon hasta Victoria”

SM = “n° bicicletas a transportar desde Sabadell hasta Madrid”

SB = “n° bicicletas a transportar desde Sabadell hasta Barcelona”

SV = “n° bicicletas a transportar desde Sabadell hasta Victoria”

Función Objetivo

Función obj. (Min.)= 2 CM + 3 CM + 5 CV + 3 SM + 1 SB + 4 SV

Restricciones

CM + SM = 10.000

CB + SB = 8.000

CV + SV = 15.000

CM + CB + CV <=20.000

SM +SB + SV <= 15.000

6. APLICACIONES DE LA PROGRAMACIÓN 

LINEAL A MEZCLAS

6.1 El PROBLEMA DE LA DIETA

Este problema representa una de las primeras aplicaciones de la PL, y comenzó a utilizarse en los hospitales para determinar la dieta más económica con la que alimentar a los pacientes a partir de unas especificaciones nutritivas mínimas. En la actualidad también se aplica con éxito en el ámbito agrícola con la misma idea de encontrar la combinación óptima de alimentos que, logrando un aporte nutritivo mínimo, suponga el menor coste posible.

Un centro de nutrición utiliza tres tipos de granos para elaborar un cereal natural que vende por kilos. El eslogan del centro es que cada 125 gramos de su cereal, tomados con medio vaso de leche entera, cubre las necesidades alimenticias de un adulto en cuanto a proteínas, hidratos de carbono, fósforo y magnesio. El coste de cada tipo de grano y sus contenidos por kg. se reflejan en la siguiente tabla:

GRANO	COSTE POR KG.	PROTEINAS (Unidades/Kg.)	HIDRATOS C (Unidades/Kg.)	FÓSFORO (Unidades/Kg.	MAGNESIO (Unidades/Kg.
A	0.33 €	22	16	8	5
B	0.47 €	28	14	7	0
C	0.38 €	21	25	9	6

Los requisitos nutricionales mínimos por día para un adulto son 3 unidades de proteínas, 2 de hidratos de carbono, 1 de fósforo, y 0.425 de magnesio. Se tratará pues de establecer la mezcla adecuada de granos que logra cubrir estas necesidades con el mínimo coste para el centro.

PROBLEMA DE LA DIETA

Variables

XA = “Kgs. Grano tipo A que usaremos en 125 gramos de cereal”

XB = “Kgs. Grano tipo B que usaremos en 125 gramos de cereal”

XC = “Kgs. Grano tipo C que usaremos en 125 gramos de cereal”

Función Objetivo

Función obj. (Min.)= 0.33 XA + 0.47 XB + 0.38 XC

Restricciones

22 XA + 28 XB + 21 XC >= 3

16 XA + 14 XB + 25 XC >= 2

8 XA + 7 XB + 9 XC >= 1

5 XA +               6 XC >= 0.425

XA + XB + XC = 0.125

Queda claro pues que la solución ideal será usar 25 gramos de grano tipo A, 50 de grano tipo B y otros 50 de grano tipo C. Con ello logramos cumplir con nuestro eslogan al menor coste posible.

Bibliografía

1.    Anderson, D.R., Sweeney, D. J. y Williams, T.A. (2001): Quantitative Methods for Business. West Publishing Company. (Existe versión en español).

2.    Hillier, F.S. y Liebermann, G.J. (2001): Introducción a la Investigación de Operaciones. Ed. McGraw-Hill.

 

3.    Winston, W. (1994): Investigación de Operaciones. Aplicaciones y Algoritmos. Grupo Editorial Iberoamericano.

 

4.    Eppen, G.D., Gould, F.J., Schmidt, C.P., Moore, J.H., Weatherford, L.R. (1998): Introductory Management Science. Decision Modeling with Spreadsheets. Upper Saddle River. (Existe versión en español)