Ejercicios

Ejercicios resueltos

1. Una refinería produce gasolina Corriente, Extra y ACPM para las cuales a establecido un precio de venta de $4000, $4500 y $4100 por galón respectivamente. Para la producción de estos combustibles, la compañía cuenta con una disponibilidad de 5000 galones de petróleo crudo y 7000 galones de petróleo refinado. Además se a establecido que el costo de galón de petróleo crudo es 3000 y el refinado a 3500. Por requerimientos de calidad, se sabe que la gasolina corriente debe contener 40% de petróleo crudo y 60% de petróleo refinado; la gasolina extra debe contener 30% de petróleo crudo y 70% de petróleo refinado; mientras que el ACPM debe contener 50% de ambos petróleos. Plantee el modelo de programación lineal con el fin de obtener el beneficio de la empresa.

---------------	P. CRUDO	P. REFINADO	PRECIO/GALON
CORRIENTE	40%	60%	$4000
EXTRA	30%	70%	$4500
ACPM	50%	50%	$4100
DISPONIBILIDAD	5000 galones	7000 galones
PRECIO/GALON	$3000	$3500

->Lo primero que hacemos es definir las variables a usar en el modelo de programación lineal:

X₁= Galón de gasolina corriente; X₂= Galón de gasolina extra; X₃= Galón de ACPM; X₄= Galón de petróleo crudo; X₅= Galón de petróleo refinado.

->Ahora definimos nuestra función objetivo, que es:

Zmax= 4000X1+4500X2+4100X3-(3000X4+3500X5)

->Y las restricciones a las que esta sometido nuestro problema son:


RESTRICCION DE PORCENTAJE DE P. CRUDO:

R1= 0.4X1+0.3X2+0.5X3 ≤ 5000

  RESTRICCION DE PORCENTAJE DE P. REFINADO:

                  R2= 0.6X1+0.7X2+0.5X3 ≤ 7000

RESTRICCIONES DE POSITIVIDAD:

                   X1,X2,X3,X4,X5 ≤ 0

  

2.      Una compañía de petróleo produce tres tipos de gasolina Súper, Normal y Euro. Se obtienen por la mezcla de tres calidades de crudo que contienen tres componentes A, B y C. La participación de esos componentes en la fabricación de cada crudo es:Restricciones:

CRUDO	1	2	3
A	80%	10%	5%
B	45%	30%	20%
C	30%	40%	25%

Las especificaciones de los tres tipos de gasolina son:

TIPO DE GASOLINA	A	B	C
SUPER	≥60%	≤25%	≥10%
NORMAL	≥50%	≤30%	≤15%
EURO	≤40%	≥35%	≥20%

Los costos por barril de crudo A, B y C es de $650, $500 y $450 respectivamente. El presupuesto diario de compras es de $50 millones; la disponibilidad diaria de crudo B y C se limita respectivamente a 3000 y 7000 barriles. Ciertos acuerdos obligan comprar al menos 2500 barriles de A por día. Las demandas de las gasolinas Súper y Normal son de 2000 y 2500 barriles diarios respectivamente, que deben satisfacerse. La compañía desea maximizar la producción de gasolina Euro.

DEFINIMOS LAS VARIABLES: 


X_ij=> i= Tipo de crudo= {A, B, C}; j=Tipo de gasolina= {S, N, E}; en unidades de barriles. Y como ayuda tenemos de variable C, con respecto a cada componente de los crudos.

->Nuestra función objetivo es, teniendo en cuenta que la empresa desea maximizar la producción de gasolina Euro:

Zmax= XAE+XBE+XCE
 

  ->Restricciones de cantidades:

0.8C1+ 0.1C2+ 0.05C3≥ 0.6 (X_AS+X_BS+X_CS)

0.45C1+ 0.3C2+ 0.2C3≤ 0.25 (X_AS+X_BS+X_CS)

0.3C1+ 0.4C2+ 0.25C3≥ 0.1 (X_AS+X_BS+X_CS)

0.8C1+ 0.1C2+ 0.05C3≥ 0.5 (X_AN+X_BN+X_CN)

0.45C1+ 0.3C2+ 0.2C3≤ 0.3 (X_AN+X_BN+X_CN)

0.3C1+ 0.4C2+ 0.25C3≤ 0.15 (X_AN+X_BN+X_CN)

0.8C1+ 0.1C2+ 0.05C3≤ 0.4 (X_AE+X_BE+X_CE)

0.45C1+ 0.3C2+ 0.2C3≥ 0.35 (X_AE+X_BE+X_CE)

0.3C1+ 0.4C2+ 0.25C3≥ 0.2 (X_AE+X_BE+X_CE)

  ->Restricción de costos diarios:

     650 (X_AS+X_AN+X_AE)+500 (X_BS+X_BN+X_BE)+450 (X_CS+X_CN+X_CE) ≤ 50 millones

  ->Restricción de disponibilidad diaria de los crudos B y C:

X_BS+X_BN+X_BE ≤ 3000 barriles.

X_CS+X_CN+X_CE ≤ 7000 barriles.

  ->Restricción de demandas de gasolina Súper y Normal:

(X_AS+X_BS+X_CS) ≥ 2000 barriles

(X_AN+X_BN+X_CN) ≥ 2500 barriles

  ->Restricción de mínimo de compras de crudo A:

(X_AS+X_AN+X_AE) ≥ 2500 barriles.

  ->Restricción de positividad:

 X_ij≥0 → i= Tipo de crudo= {A, B, C}; j=Tipo de gasolina= {S, N, E}.

3. Una compañía produce bibliotecas y escritorios para los cuales a establecido un precio de venta por unidad de $9000 y $10000 respectivamente. Para la producción de dichos artículos, la compañía cuenta con una disponibilidad mensual de 700 metros de madera, 800 metros de tubo y 900 pliegos de papel de lija. ¿Qué cantidad de bibliotecas y escritorios se deben fabricar mensualmente, si se sabe que una biblioteca consume 7 metros de madera, 10 metros de tubo y 6 pliegos de papel de lija; mientras que el escritorio consume 10 metros de madera, 8 metros de tubo y 15 pliegos de papel de lija?


Determinamos primero que todo, nuestras variables que son:

X₁= Número de bibliotecas; X₂= Número de escritorios.

Ahora, la función objetivo es:

Z_max=9000X₁+10000X₂

Restricciones:

·         Restricción de cantidad de madera a emplear:

                      7X₁+10X₂ ≤ 700 m

·         Restricción de cantidad de tubo a emplear:

                     10X₁+8X₂ ≤ 800 m

·         Restricción de cantidad de papel de lija a emplear:

                  6X₁+15X₂ ≤ 900 pliegos

·         Restricción de positividad:

                             X₁, X₂ ≥ 0

4. Una compañía de petróleo produce tres tipos de gasolina Súper, Normal y Euro. Se obtienen por la mezcla de tres calidades de crudo que contienen tres componentes A, B y C. La participación de esos componentes en la fabricación de cada crudo es:

CRUDO	1	2	3
A	80%	10%	5%
B	45%	30%	20%
C	30%	40%	25%

Las especificaciones de los tres tipos de gasolina son:

TIPO DE GASOLINA	1	1	1
SUPER	≥60%	≤25%	≥10%
NORMAL	≥50%	≤30%	≤15%
EURO	≤40%	≥35%	≥20%

Los costos por barril de crudo A, B y C es de $650, $500 y $450 respectivamente. El presupuesto diario de compras es de $50 millones; la disponibilidad diaria de crudo B y C se limita respectivamente a 3000 y 7000 barriles. Ciertos acuerdos obligan comprar al menos 2500 barriles de A por día. Las demandas de las gasolinas Súper y Normal son de 2000 y 2500 barriles diarios respectivamente, que deben satisfacerse. La compañía desea maximizar la producción de gasolina Euro.

DEFINIMOS LAS VARIABLES: X_ij=> i= Tipo de crudo= {A, B, C}; j=Tipo de gasolina= {S, N, E}; en unidades de barriles. Y como ayuda tenemos de variable C, con respecto a cada componente de los crudos.

Nuestra función objetivo es, teniendo en cuenta que la empresa desea maximizar la producción de gasolina Euro:

Zmax= XAE+XBE+XCE

  ->Restricciones de cantidades:

0,80XAS+0,45XBS+0,30XCS ≥ 0,60(XAS+XBS+XCS) 

0,10XAS +0,30XBS+0,40XCS ≤ 0,25(XAS+XBS+XCS)

0,05XAS+0,20XBS+0,25XCS ≥ 0,10 (XAS+XBS+XCS)

0,80XAN+0,45XBN+0,30XCN ≥ 0,50(XAN+XBN+XCN)

0,10XAN +0,30XBN+0,40XCN ≤ 0,30(XAN+XBN+XCN)

0,05XAN+0,20XBN+0,25XCN ≤ 0,15 (XAN+XBN+XCN)

0,80XAE+0,45XBE+0,30XCE ≤ 0,40(XAE+XBE+XCE) 

0,10XAE +0,30XBE+0,40XCE ≥ 0,35(XAE+XBE+XCE)

0,05XAE+0,20XBE+0,25XCE ≥ 0,20(XAE+XBE+XCE)

  ->Restricción de costos diarios:

     650 (X_AS+X_AN+X_AE)+500 (X_BS+X_BN+X_BE)+450 (X_CS+X_CN+X_CE) ≤ 50 millones

  ->Restricción de disponibilidad diaria de los crudos B y C:

X_BS+X_BN+X_BE ≤ 3000 barriles.

X_CS+X_CN+X_CE ≤ 7000 barriles.

  ->Restricción de demandas de gasolina Súper y Normal:

 (X_AS+X_BS+X_CS) ≥ 2000 barriles

(X_AN+X_BN+X_CN) ≥ 2500 barriles

  ->Restricción de mínimo de compras de crudo A:

(X_AS+X_AN+X_AE) ≥ 2500 barriles.

  ->Restricción de positividad:

 X_ij≥0 → i= Tipo de crudo= {A, B, C}; j=Tipo de gasolina= {S, N, E}.

5. PROTRAC, produce dos líneas de maquinaria pesada. Una de sus líneas de productos, llamada equipa de excavación, se utiliza de manera primordial en aplicaciones de construcción. La otra línea, denominada equipo para la silvicultura, esta destinad a la industria maderera. Tanto la maquina mas grane de la línea de equipo de excavación (E9), como la mayor de toda la línea de silvicultura (F9) son fabricadas en los mismos departamento y con el mismo equipo. Empleando las proyecciones económicas correspondientes al siguiente mes, el gerente de mercadotecnia de PROTRAC ha considerado que durante ese periodo será posible vender todas las E9 y F9 que la compañía sea capaz de producir. La gerencia tiene que recomendar ahora una meta de producción pare le mes próximo.  Es decir, ¿Cuántas E-9 y F-9 deberán fabricar si la dirección de PROTRAC desea maximizar la contribución del mes entrante a las ganancias?

Se toma en cuenta los siguientes factores importantes:

• El margen de contribución unitaria de PROTRAC es de $ 5000 pro cada E-9 vendida y de $4000 por cada F-9.
• Cada producto pasa por las operaciones de maquinado, tanto en el departamento A como el B.
• Para la producción correspondiente al mes próximo, estos dos departamentos tienen tiempos disponibles de 150 y 160 horas, respectivamente. La fabricación de cada E-9 requiere  10 horas de maquinado en el departamento A y 20  horas en el departamento B, mientras que la de cada F-9 requiere 15 horas en el departamento A y 10 en el B.
• Para que la administración cumpla un acuerdo concertado con el sindicato, las horas totales de trabajo invertidas en la prueba de productos terminados del siguiente mes no deben ser mas allá de 10% inferior a una meta convenida de 150 horas. Estas pruebas es llevan a cavo en un tercer departamento y no tiene nada que ver con las actividades de los departamentos A y B. Cada  E-9  es sometida a pruebas  durante 30 horas y cada F-9 durante 10. Dado que el 10% de 150 es 15, las horas destinas a las pruebas no pueden ser menores que 135.
• Con el fin de mantener su posición actual en el mercado, la lata gerencia ha decretado como política operativa que .deberá construirse cuando menos una F-9 por cada tres E-9 que sean fabricadas.
• Uno de los principales distribuidores ha ordenado un total de cuando menos cinco E-9 y F-9 para el próximo mes, por lo cual tendrá que producirse por lo menos esa cantidad.

Entonces tomamos como nuestras variables:

X= # máquinas E9

Y= # máquinas F9.

Nuestra función objetivo será:

Z_max= 5000X + 4000Y.

Restricciones:

·         10X + 15Y ≤ 150.

·         20X + 10Y ≤ 160.

·         30X + 10Y ≥ 135.       

·         X/Y ≤ 3.

·         X + Y ≥ 5.

·         X, Y ≥ 0.

6. Problema de Dieta
El problema de la dieta fue uno de los primeros sobre optimización. Se trataba hallar la manera más económica de alimentar al ejercito pero asegurando al mismo tiempo unos determinados niveles nutricionales.
Este tipo de problema se puede plantear en distintas formas tales como minimizar los gastos de la compra, dieta para el ganado, una dieta adelgazante que cumpla unos determinados niveles de calorías, proteínas, hidratos de carbono, etc.
Ejemplo
Nos proponemos alimentar el ganado de una granja con una dieta que sea la más económica posible. Dicha dieta debe contener cuatro tipos de nutrientes que llamamos A, B, C, y D. Estos componentes se encuentran en dos tipos de piensos M y N. La cantidad, en gramos, de cada componente por kilo de estos piensos viene dada en la tabla siguiente:

	A	B	C	D
M	100	-	100	200
N	-	100	200	100

La dieta diaria de un animal debe estar compuesta por al menos 0.4Kg del componente A, 0.6Kg del componente B, 2Kg del componente C, y 1.7Kg del componente D. El compuesto M cuesta 0.2€/Kg y el compuesto N 0.08€/Kg. ¿Qué cantidades de piensos M y N deben adquirirse para que el gasto de comida sea el menor posible?
Solución
 Se determinan las variables de decisión y se representan algebraicamente. En este caso:
• X1: cantidad de pienso M en Kg
• X2: cantidad de pienso N en Kg
Se determina la función objetivo:
• Minimizar Z = 0.2·X1 + 0.08·X2


Se determinan las restricciones y se expresan como ecuaciones o inecuaciones de las variables de decisión. Dichas restricciones se deducen de la composición requerida para la dieta diaria (en Kg):
• En el componente A: 0.1·X1 + 0·X2 ≥ 0.4
• En el componente B: 0·X1 + 0.1·X2 ≥ 0.6
• En el componente C: 0.1·X1 + 0.2·X2 ≥ 2
• En el componente D: 0.2·X1 + 0.1·X2 ≥ 1.7
Se expresan todas las condiciones implícitamente establecidas por la naturaleza de las variables: que no puedan ser negativas, que sean enteras, que solo puedan tomar determinados valores, ... En este caso, la única restricción es que las cantidades de pienso que forman la dieta no pueden ser negativas:
• X1 ≥ 0
• X2 ≥ 0

7. Transporte de tropas

Un destacamento militar formado por 50 soldados ingenieros, 36 zapadores, 22 de las fuerzas especiales, y 120 soldados de infantería como tropa de apoyo, ha de transportarse hasta una posición estratégica importante. En el parque de la base se dispone de 4 tipos de vehículos A, B, C, y D, acondicionados para transporte de tropas. El número de personas que cada vehículo puede transportar es 10, 7, 6, y 9, de la forma en que se detalla en la siguiente tabla:

	Ingenieros	Zapateros	Fuerzas especiales	Infantería
A	3	2	1	4
B	1	1	2	3
C	2	1	2	1
D	3	2	3	1

El combustible necesario para que cada vehículo llegue hasta el punto de destino se estima en 160, 80, 40, y 120 litros respectivamente. Si queremos ahorrar combustible, ¿cuántos vehículos de cada tipo habrá que utilizar para que el consumo sea el mínimo posible?

Se determinan las variables de decisión y se representan algebraicamente. En este caso:

• Xi: número de vehículos de cada tipo que se usen
• X1: número de vehículos de tipo A
• X2: número de vehículos de tipo B
• X3: número de vehículos de tipo C
• X4: número de vehículos de tipo D

Se determina la función objetivo:

• Minimizar Z = 160·X1 + 80·X2 + 40·X3 + 120·X4

Se determinan las restricciones y se expresan como ecuaciones o inecuaciones de las variables de decisión. Dichas restricciones se deducen de los soldados que deben ser transportados:

• Ingenieros: 3·X1 + X2 + 2·X3 + 3·X4 ≥ 50
• Zapadores: 2·X1 + X2 + X3 + 2·X4 ≥ 36
• Fuerzas especiales: X1 + 2·X2 + 2·X3 + 3·X4 ≥ 22
• Infantería: 4·X1 + 3·X2 + X3 + X4 ≥ 120

Se expresan todas las condiciones implícitamente establecidas por la naturaleza de las variables: que no puedan ser negativas, que sean enteras, que solo puedan tomar determinados valores, ... En este caso las restricciones son que la cantidad de vehículos no puede ser negativa y debe ser además un número entero:

• Xi ≥ 0
• Xi son enteros

8. Transporte de mercancías

Para este tipo de problemas, aunque pueden ser resueltos por el método del Simplex, existe un método específico de más fácil resolución: el método del transporte o método simplificado del Simplex para problemas de transporte. Este método ahorra bastante tiempo y cálculos frente al método del Simplex tradicional.

Sin embargo el problema se modela de la misma forma.

Ejemplo

Un fabricante desea despachar varias unidades de un artículo a tres tiendas T1, T2, y T3. Dispone de dos almacenes desde donde realizar el envío, A y B. En el primero dispone de 5 unidades de este artículo y en el segundo 10. La demanda de cada tienda es de 8, 5, y 2 unidades respectivamente. Los gastos de transporte de un artículo desde cada almacén a cada tienda están expresados en la tabla:

	T1	T2	T3
A	1	2	4
B	3	2	1

¿Cómo ha de realizar el transporte para que sea lo más económico posible?

Solución  

Se determinan las variables de decisión, en este caso:

• Xi: número de unidades transportadas desde cada almacén a cada tienda
• X1: número de unidades transportadas desde el almacén A hasta la tienda T1
• X2: número de unidades transportadas desde el almacén A hasta la tienda T2
• X3: número de unidades transportadas desde el almacén A hasta la tienda T3
• X4: número de unidades transportadas desde el almacén B hasta la tienda T1
• X5: número de unidades transportadas desde el almacén B hasta la tienda T2
• X6: número de unidades transportadas desde el almacén B hasta la tienda T3

Se determina la función objetivo:

• Minimizar Z = X1 + 2·X2 + 4·X3 + 3·X4 + 2·X5 + X6

Se determinan las restricciones y se expresan como ecuaciones o inecuaciones de las variables de decisión. Dichas restricciones se deducen de la disponibilidad de unidades que hay en cada almacén así como de la demanda de cada tienda:

• Disponibilidad en el almacén A: X1 + X2 + X3 = 5
• Disponibilidad en el almacén B: X4 + X5 + X6 = 10
• Demanda de la tienda T1: X1 + X4 = 8
• Demanda de la tienda T2: X2 + X5 = 5
• Demanda de la tienda T3: X3 + X6 = 2

Se expresan todas las condiciones implícitamente establecidas por la naturaleza de las variables: que no puedan ser negativas, que sean enteras, que solo puedan tomar determinados valores, ... En este caso las restricciones son que la cantidad de unidades no puede ser negativa y debe ser además un número entero:

• Xi ≥ 0
• Xi son enteros

9. Árboles frutales

Un agricultor tiene una parcela de 640m² para dedicarla al cultivo de árboles frutales: naranjos, perales, manzanos y limoneros. Se pregunta de qué forma debería repartir la superficie de la parcela entre las variedades para conseguir el máximo beneficio sabiendo que:

• cada naranjo necesita un mínimo de 16m², cada peral 4m², cada manzano 8m² y cada limonero 12m².
• dispone de 900 horas de trabajo al año, necesitando cada naranjo 30 horas al año, cada peral 5 horas, cada manzano 10 horas, y cada limonero 20 horas.
• a causa de la sequía, el agricultor tiene restricciones para el riego: le han asignado 200m³ de agua anuales. Las necesidades anuales son de 2m³ por cada naranjo, 1m³ por cada peral, 1m³ por cada manzano, y 2m³ por cada limonero.
• los beneficios unitarios son de 50, 25, 20, y 30 € por cada naranjo, peral, manzano y limonero respectivamente.

Se determinan las variables de decisión y se representan algebraicamente. En este caso:

• X1: número de naranjos
• X2: número de perales
• X3: número de manzanos
• X4: número de limoneros

Se determina la función objetivo:

• Maximizar Z = 50·X1 + 25·X2 + 20·X3 + 30·X4

Se determinan las restricciones y se expresan como ecuaciones o inecuaciones de las variables de decisión. Dichas restricciones se deducen de las necesidades de cada árbol de terreno, horas de trabajo anuales, y necesidades de riego:

• Necesidades de terreno: 16·X1 + 4·X2 + 8·X3 + 12·X4 ≤ 640
• Necesidades de horas anuales: 30·X1 + 5·X2 + 10·X3 + 20·X4 ≤ 900
• Necesidades de riego: 2·X1 + X2 + X3 + 2·X4 ≤ 200

Se expresan todas las condiciones implícitamente establecidas por la naturaleza de las variables: que no puedan ser negativas, que sean enteras, que solo puedan tomar determinados valores, ... En este caso las restricciones son que el número de árboles no puede ser negativo y además debe ser un número entero:

• Xi ≥ 0
• Xi son enteros

10. Asignación de personal

Una empresa ha preseleccionado 5 candidatos para ocupar 4 puestos de trabajo en dicha empresa. Los puestos de trabajo consisten en manejar 4 máquinas diferentes (un trabajador para cada máquina). La empresa puso a prueba a los 5 trabajadores en las 4 máquinas, realizando el mismo trabajo todos ellos en cada una de las máquinas, obteniendo los siguientes tiempos:

	Maquina 1	Maquina 2	Maquina 3	Maquina 4
Candidato 1	10	6	6	5
Candidato 2	8	7	6	6
Candidato 3	8	6	5	6
Candidato 4	9	7	7	6
Candidato 5	8	7	6	5

Determinar qué candidatos debe seleccionar la empresa y a qué máquinas debe asignarlos.

Se determinan las variables de decisión, en este caso:

• Xij: acción de que el trabajador i es asignado a la máquina j (0 indica que el trabajador no ha sido asignado y 1 que sí ha sido asignado)

Se determina la función objetivo:

• Minimizar Z = 10·X11 + 8·X21 + 8·X31 + 9·X41 + 8·X51 + 6·X12 + 7·X22 + 6·X32 + 7·X42 + 7·X52 + 6·X13 + 6·X23 + 5·X33 + 7·X43 + 6·X53 + 5·X14 + 6·X24 + 6·X34 + 6·X44 + 5·X54

Se determinan las restricciones y se expresan como ecuaciones o inecuaciones de las variables de decisión. Dichas restricciones son que cada trabajador debe ser asignado a una sola máquina y no debe quedar ninguna máquina sin un trabajador asignado a ella:

• Cada trabajador debe estar asignado a una sola máquina o a ninguna si no se selecciona:

<!--[if !supportLists]-->·         <!--[endif]-->X11 + X12 + X13 + X14 ≤ 1

<!--[if !supportLists]-->·         <!--[endif]-->X21 + X22 + X23 + X24 ≤ 1

<!--[if !supportLists]-->·         <!--[endif]-->X31 + X32 + X33 + X34 ≤ 1

<!--[if !supportLists]-->·         <!--[endif]-->X41 + X42 + X43 + X44 ≤ 1

<!--[if !supportLists]-->·         <!--[endif]-->X51 + X52 + X53 + X54 ≤ 1

• En cada máquina debe haber un trabajador:

• X11 + X21 + X31 + X41 + X51 = 1
• X12 + X22 + X32 + X42 + X52 = 1
• X13 + X23 + X33 + X43 + X53 = 1

<!--[if !supportLists]-->·         <!--[endif]-->X14 + X24 + X34 + X44 + X54 = 1

Se expresan todas las condiciones implícitamente establecidas por la naturaleza de las variables: que no puedan ser negativas, que sean enteras, que solo puedan tomar determinados valores. En este caso las restricciones son que las asignaciones de trabajadores a máquinas no puede ser negativa y debe ser además una variable booleana (0 no se asigna, 1 se asigna):

• Xij ≥ 0
• Xij es booleano

11. Camino mínimo

Los problemas conocidos como problemas del camino mínimo o camino más corto, tratan como su nombre indica de hallar la ruta mínima o más corta entre dos puntos. Este mínimo puede ser la distancia entre los puntos origen y destino o bien el tiempo transcurrido para trasladarse desde un punto a otro. Se aplica mucho para problemas de redes de comunicaciones.

Este tipo de problemas pueden ser resueltos por el método del Simplex, sin embargo existen otros métodos más eficientes como por ejemplo el algoritmo de Dijkstra o el de Bellman-Ford.

Ejemplo

Una persona tiene que desplazarse a diario de un pueblo 1 a otro 7. Está estudiando cual es el trayecto más corto usando un mapa de carreteras. Las carreteras y sus distancias están representadas en la figura siguiente:

Solución

Se determinan las variables de decisión, en este caso:

• Xij: acción de desplazarse del pueblo i al j (0 indica que no hay desplazamiento y 1 que sí hay desplazamiento)

Se determina la función objetivo:

• Minimizar Z = 12·X12 + 4·X13 + 5·X24 + 3·X25 + 2·X34 + 10·X36 + 5·X42 + 2·X43 + 10·X45 + 3·X52 + 10·X54 + 2·X57+ 10·X63 + 4·X67

Se determinan las restricciones y se expresan como ecuaciones o inecuaciones de las variables de decisión. Dichas restricciones se deducen del balance entre los posibles caminos que parten desde cada pueblo y los que llegan hasta él (obviando los caminos que nos devuelvan al punto de partida y los que provengan del punto de destino):

• Balance de caminos del pueblo 1: X12 + X13 = 1
• Balance de caminos del pueblo 2: X24 + X25 - X12 - X42 - X52 = 0
• Balance de caminos del pueblo 3: X34 + X36 - X13 - X43 - X63 = 0
• Balance de caminos del pueblo 4: X42 + X43 + X45 - X24 - X34 - X54 = 0
• Balance de caminos del pueblo 5: X52 + X54 + X57 - X25 - X45 = 0
• Balance de caminos del pueblo 6: X63 + X67 - X36 = 0
• Balance de caminos del pueblo 7: - X57 - X67 = -1

Se expresan todas las condiciones implícitamente establecidas por la naturaleza de las variables: que no puedan ser negativas, que sean enteras, que solo puedan tomar determinados valores, ... En este caso las restricciones son que las variables deben ser booleanas (0 no se toma el camino, 1 se toma), y por lo tanto no pueden ser negativas:

• Xij ≥ 0
• Xij es booleano

12. Localización

Una empresa tiene la exclusiva para la distribución de un producto en 4 poblaciones. En un estudio de mercado se ha determinado la demanda potencial, según se muestra en la siguiente tabla:

Población 1	Población 2	Población 3	Población 4
3000 Unidades	2000 unidades	2500 unidades	2700 unidades

Se sabe que los costes de transporte son de 0.02€ por Km y unidad transportada. La distancia en Km existente entre los pueblos es la que figura en la tabla siguiente:

	Población 1	Población 2	Población 3	Población 4
Población 1	-	25	35	40
Población 2	25	-	20	40
Población 3	35	20	-	30
Población 4	40	40	30	-

Para abaratar los costes de transporte se decide instalar un almacén con capacidad para 6000 unidades en dos de estas cuatro poblaciones. Determinar en qué poblaciones se deben instalar los almacenes.

Solución

Se determinan las variables de decisión, en este caso:

• Xij: cantidad enviada del almacén i a la población j
• Yi: almacén situado en la población i (0 indica que no hay ningún almacén y 1 que sí lo hay)

Se determina la función objetivo:

• Minimizar Z = 0.5·X12 + 0.7·X13 + 0.8·X14 + 0.5·X21 + 0.4·X23 + 0.8·X24 + 0.7·X31 + 0.4·X32 + 0.6·X34 + 0.8·X41 + 0.8·X42 + 0.6·X43

Se determinan las restricciones y se expresan como ecuaciones o inecuaciones de las variables de decisión. Dichas restricciones se deducen de la siguiente manera:

• Las unidades que se envían a cada población desde los almacenes deben cumplir con la demanda de dicha población:

• X11 + X21 + X31 + X41 ≥ 3000
• X12 + X22 + X32 + X42 ≥ 2000
• X13 + X23 + X33 + X43 ≥ 2500
• X14 + X24 + X34 + X44 ≥ 2700

• Solo se crearán dos almacenes:

<!--[if !supportLists]-->o   <!--[endif]-->Y1 + Y2 + Y3 + Y4 = 2

• La cantidad de unidades que puede enviar cada almacén debe ser menor o igual que la capacidad de éste:

• X11 + X12 + X13 + X14 ≤ 6000·Y1
• X21 + X22 + X23 + X24 ≤ 6000·Y2
• X31 + X32 + X33 + X34 ≤ 6000·Y3
• X41 + X42 + X43 + X44 ≤ 6000·Y4

Se expresan todas las condiciones implícitamente establecidas por la naturaleza de las variables: que no puedan ser negativas, que sean enteras, que solo puedan tomar determinados valores, ... En este caso las restricciones son que las unidades enviadas desde cada almacén no pueden ser negativas y además la variable que determina si se creará o no un almacén debe ser booleana (0 no se crea, 1 se crea):

• Xij ≥ 0
• Yi es booleano

13. Inversión en bolsa

Una inversora dispone de 50.000€ para invertir entre las cuatro siguientes posibilidades: bolsa X, bolsa Y, bonos X, y bonos Y, por el periodo de un año. Un máximo de 10.500€ puede ser invertido en bonos X, y un máximo de 10.000€ en bonos Y. La inversión en la bolsa X conlleva un riesgo considerable por lo que se determina no invertir más de un cuarto de la inversión total. La cantidad invertida en la bolsa Y debe ser al menos tres veces la cantidad invertida en la bolsa X. Además, la inversora requiere que la inversión en bonos sea al menos tan grande como la mitad de la inversión en las bolsas. Los retornos netos anuales se estiman según se muestra en la siguiente tabla:

Bolsa X	Bolsa Y	Bolsa X	Bolsa Y
20 %	10 %	9 %	11 %

¿Cuál es la forma óptima de realizar la inversión para conseguir las máximas ganancias?

Solución

Se determinan las variables de decisión, en este caso:

• X1: inversión en bolsa X
• X2: inversión en bolsa Y
• X3: inversión en bonos X
• X4: inversión en bonos Y

Se determina la función objetivo:

• Maximizar Z = 0.2·X1 + 0.1·X2 + 0.09·X3 + 0.11·X4

Se determinan las restricciones y se expresan como ecuaciones o inecuaciones de las variables de decisión. Dichas restricciones se deducen de las decisiones tomadas por la inversora sobre la forma de invertir y de la inversión máxima que se puede realizar:

• X1 + X2 + X3 + X4 ≤ 50000
• X1 ≤ 12500
• X3 ≤ 10500
• X4 ≤ 10000
• 3·X1 - X2 ≤ 0
• 0.5·X1 + 0.5·X2 - X3 - X4 ≤ 0

Se expresan todas las condiciones implícitamente establecidas por la naturaleza de las variables: que no puedan ser negativas, que sean enteras, que solo puedan tomar determinados valores, ... En este caso la única restricción es que las inversiones no pueden ser negativas:

• Xi ≥ 0

14. Elaboración de zumos

Una empresa de alimentación produce zumos de pera, naranja, limón, tomate, manzana, además de otros dos tipos denominados H y G que son combinados de alguno de los anteriores. La disponibilidad de fruta para el periodo próximo, así como los costes de producción y los precios de venta para los zumos, vienen dados en la tabla:

FRUTA	DISPONIBILIDAD MÁXIMA (KG)	COSTE (PTAS/KG)	PRECIO VENTA (PTAS/L)
NARANJA (N)	32000	94	129
PERA ( P)	25000	87	125
LIMÓN (L)	21000	73	110
TOMATE (T)	18000	47	88
MANZANA (M)	27000	68	97

Las especificaciones y precios de venta de los combinados vienen dados en la tabla:

COMBINADO	ESPECIFICACIÓN	PRECIO VENTA (PTAS/L)
H	No más del 50 % de M	1OO
	No más del 20 % de P
	No menos del 10 % de L
G	40 %  de N	120
	35 % de L
	25 % de P

La demanda de los distintos zumos es grande, por lo que se espera vender toda la producción. Por cada kg de fruta, se produce un litro del correspondiente zumo. Determinar los niveles de producción de los siete zumos, de manera que se tengan beneficio máximo en el periodo entrante.

SOLUCION:

·        VARIABLES

Xij  donde X: cantidad de litros

     I: (H=1, G=2)

     J: (naranja= 1, pera= 2, limón=3, tomate=4, manzana = 5)

·        FUNCION OBJETIVO

Z(max)= 100X1 + 120X2 + 129(X11+X21) + 125(X12+X22) + 110(X13+X23) + 88(X14+X24) + 97(X15+X25) – 94(X11+X21) – 87(X12+X22) – 73(X13+X23) – 47(X14+X24) – 68(X15+X25)

Z(max)= 100X1 + 120X2 + 35(X11+X21) + 38(X12+X22) + 37(X13+X23) + 41(X14+X24) + 29(X15+X25)  

·        RESTRICCIONES

Concentración

X15 ≤ 0,50 X1

X12 ≤ 0,20 X1

X13 ≥ 0,10 X1

X12 +  X13 + X15 + X11 + X14 = X1

X21 = 0,40 X2

X23 = 0,35 X2

X22 =0,25 X2

X21 +  X23 + X22 + X24 + X25 = X2

Disponibilidad

X11 + X21 ≤ 32000

X12 + X22 ≤ 25000

X13 + X23 ≤ 21000

X14 + X24 ≤ 18000

X15 + X25 ≤ 27000

Positividad

Xij  ≥  0 para todo i= 1,2  y  j= 1,2,3,4,5

Ejercicios propuestos



Formular y construir los modelos de los siguientes problemas de programación lineal:
1).- Un agente esta arreglando un viaje en esquís, puede llevar un máximo de 10 personas y ha decidido que deberán ir por lo menos 4 hombres y 3 mujeres. Su ganancia será de 10 pesos por cada mujer y 15 pesos por cada hombre. ¿ Cuantos hombres y cuantas mujeres le producen la mayor ganancia?
2).- Un sastre tiene las siguientes materias primas a su disposición: 16 m2 de algodón, 11 m2 de seda y 15m2 de lana. Un traje requiere: 2 m2 de algodón, 1m2 de seda y 1 m2 de lana. Una túnica requiere: 1m2 de algodón, 2m2 de seda y 3m2 de lana. Si el traje se vende en $300 y una túnica en $500. ¿Cuántas piezas de cada confección debe hacer el sastre para obtener la máxima cantidad de dinero?.
3).- Mueblería MARY elabora dos productos, mesas y sillas que se deben procesar a través de los departamentos de ensamble y acabado. Ensamble tiene 60 hrs. disponibles, acabado puede manejar hasta 40 hrs. de trabajo. La fabricación de una mesa requiere de 4 hrs. de ensamble y 2 hrs. de acabado, mientras que una silla requiere de 2 hrs. de ensamble y 2 hrs. de acabado. Si la utilidad es de $80 por mesa y $60 por silla. ¿Cuál es la mejor combinación posible de mesas y sillas a producir y vender para obtener la máxima ganancia?
4).- Una firma corredora de bolsa ofrece dos tipos de inversiones que producen ingresos a razón de 4% y 5% respectivamente. Un cliente desea invertir un máximo de $10000 y que su ingreso anual sea por lo menos de $4500. insiste en que por lo menos ¾ del total debe ser invertido al 5%. El corredor recibe el 1% de los ingresos de la inversión al 5% y 2% de la inversión del 4%. ¿Cuánto invertirá el corredor a cada tasa para que sus honorarios sean máximos?.
5).- Una compañía de carga aérea desea maximizar los ingresos que obtiene por la carga que transporta la compañía tiene un solo avión diseñado para transportar dos clases de carga. Carga normal y carga frágil. La compañía no recibe pago extra por transportar carga frágil; sin embargo para asegurar ciertos contratos de negocios, la compañía ha acordado transportar cuando menos 5 toneladas de carga frágil. Este tipo de carga debe llevarse en una cabina presurizada. La capacidad de la cabina principal es de 20 toneladas de carga. La cabina presurizada no puede llevar mas de 10 toneladas de carga. El avión tiene restricción de peso que le impide llevar mas de 20 toneladas de carga, para mantener en equilibrio el peso, la carga de la cabina presurizada debe ser menor o igual que dos tercios del peso de la cabina principal, mas una tonelada, la compañía recibe $1000 por tonelada de los dos tipos de carga que transporta.
6).- Un inversionista tiene $10000 que quisiera produjeran tanto dinero como sea posible; quiere invertir parte en acciones, parte en bonos y colocar el resto en una cuenta de ahorro. El inversionista cree poder ganar 8% con el dinero que invierta en acciones y el 7% que invierte en bonos. El banco paga el 5% de interés sobre las cuentas de ahorros. Como las acciones son una inversión con cierto riesgo, decide no invertir en acciones mas de lo que ponga en la cuenta de ahorro. El inversionista se quedara con al menos $2000 en la cuenta de ahorros por si necesita dinero en efectivo de inmediato.¿Cuánto dinero deberá invertir en cada tipo?
7).- Una mujer quiere diseñar un programa de ejercicios semanales, incluyendo caminata, bicicleta y natación. Para variar los ejercicios planea invertir al menos tanto tiempo en bicicleta como la combinación de caminata y natación. Además, quiere nadar al menos dos hrs a la semana, por que le gusta mas nadar que los otros ejercicios. La caminata consume 600 calorías por hora, en la bicicleta usa 300 calorías por hora nadando gasta 300 calorías por hora. Quiere quemar al menos 3000 calorías a la semana por medio de los ejercicios. ¿Cuántas horas debe dedicar a cada tipo de ejercicio si quiere minimizar el numero de horas invertidas.?
8).- Cierta compañía tiene una filial que le provee de las latas que necesita para comercializar su producto, en dicha filial que produce latas de aluminio contiene las tapaderas a partir de hojas metálicas rectangulares. Las dimensiones de estas hojas son de 6cms x 15cms Se requieren dos tamaños diferentes de tapas, el diámetro de las pequeñas es de 3cms y el de las grandes de 6 cms. El programa de producción en un día determinado es de 20000 tapas chicas y 5000 tapas grandes. ¿Cuál es el programa que minimice el numero total de hojas metálicas usadas de tal manera de obtener la mejor combinación de tapas de los diferente tamaños que pueden ser cortadas?
9).- General Motors que vende el carro mas compacto desea hacer publicidad para este modelo a través de canal 13 de televisión, la publicidad consistirá en pequeños comerciales de duración variable que se intercalaran en un programa semanal de 60 min. En el cual se presentaran los mejores cantantes del continente y un cómico de la localidad. General Motors insiste en tener al menos 5 min. De comerciales y el reglamento de la televisora requiere cuando mucho los comerciales consuman 18 min en programas de 60 min., y que nunca sea mayor el tiempo de los comerciales de actuación de los cantantes, los cantantes no quieren trabajar mas de 30 min. De los 60 que dura el programa, de manera que el cómico se utiliza para cualquier lapso de tiempo en el cual no habrá comerciales o cuando no estén trabajando los cantantes. Por experiencia de la empresa televisora, se sabe que por cada min. Que los cantantes estén en el aire 6000 televidentes mas estarán viendo el programa, por cada minuto que el comico este trabajando 3000 televidentes estarán viendo el programa, en cambio por cada min de comerciales se pierden 500 televidentes.
El cómico cobra $200 por minuto, los cantantes cobran $1000 por min y los comerciales $50 por min. Si en General Motors desea:
1).- Maximizar el numero de televidentes al finalizar el programa de 60 min.
2).- producir el programa un mínimo costo. ¿Cuál es el medelo a utilizar para cada situación?
10).- La compañía “HOLSA” de México quiere minimizar los desperdicios de lamina, para lo cual encarga a su departamento de producción que optimice el costo de las laminas de acuerdo a los requisitos de los consumidores. En particular se hará con el consumidor mas importante al cual se le surten tres tamaños de laminas a saber: tipo 1:30 cms x 60 cms y espesor de 8 mm; tipo 2:30cmsx 70 cms y espesor de 8 mm tipo 3:30cms x 50 cms y espesor de 8 mm. Las cantidades necesarias son 10000, 15000 y 5000 por mes respectivamente. Si las laminas que produce la compañía son de dimensiones de 30 cms x 180 cms con espesor de 8 mm. ¿Cuál es el modelo para optimizar los desperdicios?.
11).- Una compañía de zapatos puede producir tres tipos de zapatos a su máxima capacidad: zapatos de vestir, de trabajo y de deporte, la utilidad neta es de $1000. $800 y $400 respectivamente. El mercado de zapatos ha bajado como consecuencia de las dificultades económicas existentes en el pais de tal manera que hay una capacidad excesiva de 550,650 y 300 unidades por dia.
En las plantas existen dificultades de almacenamiento causado por el decremento de las ventas. Las tres plantas tienen: 10000, 8500 y 4000 metros cuadrados de espacio disponibles respectivamente. Los zapatos de vestir requieren de .50 metros cuadrados para almacén , de .75 metros cuadrados para los de trabajo y .40 metros cuadrados para los de deporte. La compañía ha pronosticado que las ventas serán de 700, 850 y 750 unidades respectivamente para los zapatos de vestir, trabajo y deporte. ¿cuál es el modelo que maximiza la utilidad neta?.
12).- E n un salón de Banquetes se tienen programados banquetes durante los siguientes
cinco días, los requisitos de manteles por banquete son :
Banquete : 1 2 3 4 5
Numero de manteles : 80 60 100 130 200
El problema del administrador es que se requieren manteles diferentes a los que el usa, por lo que tendrá que comprar ese tipo de manteles; el costo de cada mantel es de $40 y el costo de mandarlo a la lavandería bajo servicio urgente para tenerlo listo a los dos días es de $10 por mantel.
¿cuál es el modelo que le permitirá al administrador cumplir con sus requisitos y además minimizar el costo total?
13).-Un inversionista dispone de $ 5000 los cuales desea invertir, se le presentan dos opciones; A y B. El plan A le garantiza que cada peso invertido producirá $ 0.50 en un año, mientras que el plan B le garantiza que cada peso invertido le producirá $1.50 en dos años. ¿cómo debe invertir dicha persona con el fin de maximizar sus ganancias al final de tres años?
14).- Una compañía fabrica tres productos: volantes, juntas y ejes, el gerente enfrenta el problema de decidir cual debe ser el mejor programa de producción para el siguiente mes. Se ha determinado que hay disponibles cuando mas 1620 horas de tiempo de producción para el mes siguiente . no hay limite para el abastecimiento de metal para estos tres productos, cada hora de tiempo de producción cuesta $ 7.00 y cada unidad de metal cuesta $2.20. todas las ventas son efectivo y todos los costos deben pagarse en efectivo durante el siguiente mes los costos fijos para el siguiente mes son de $ 2,200 y se requiere un flujo de efectivo de $800 debido a compromisos previos. El saldo de efectivo a principios de mes es de $ 28,425.
TABLA DE DATOS TÉCNICOS.
PRODUCTO	HORAS DE TIEMPO DE PRODUCCIÓN POR UNIDAD FABRICADA	UNIDADES DE METAL NECESARIAS POR UNIDAD FABRICADA	PRECIO UNITARIO AL CLIENTE (EN $)	DEMANDA PRONOSTICADA DE LOS CLIENTES (EN UNIDADES).
VOLANTES	4.5	3.25	$50.65	300
JUNTAS	1.8	4.70	$38.94	550
EJES	3.6	5.00	$50.20	320
La producción puede realizarse con velocidad suficiente para permitir su distribución dentro del mismo mes. ¿ cuál debe ser el programa de producción para el próximo mes, a fin de maximizar las utilidades?.

EJERCICIOS RESUELTOS TOMADOS DE:

  1. Chediak, Francisco; Investigación de operaciones Segunda     edición; [en línea]; pag 43 http://es.scribd.com/doc/39695565/20/Problema-de-la-mezcla; [citado el 19 de junio de 2012].

  2. Paz, Francisco; [en línea];< p://franciscopaz0.tripod.com/programacionlineal/id6.html>; [citado el 19 de junio de 2012].


  EJERCICIOS PROPUESTOS TOMADOS DE:
  http://html.rincondelvago.com/investigacion-de-operaciones_8.html