1) Método Gráfico o Método de las Rectas de Nivel
Los
gráficos no son el mejor método para resolver los problemas de
programación lineal de dos variables. Además, una representación gráfica nos
sirve para entender mejor la estructura de los modelos de programación lineal.
En el método
gráfico existen dos procedimientos para encontrar la solución factible óptima:
1.
Evaluar
la función objetivo Z en cada una de las esquinas del área de soluciones factibles. La debilidad
de este procedimiento se presenta cuando
se tienen muchas restricciones y se
generan demasiadas esquinas que por supuesto sería muy dispendioso el proceso
de evaluación. Y sería en ese caso más práctico utilizar el siguiente método.
2.
Usando
la función objetivo para determinar la
esquina del área de soluciones
factible que la optimiza. La debilidad de este procedimiento podría ser visual
al no poder identificar con precisión algunas coordenadas paralelas a la recta
de la solución factible.
Se recomienda usar el segundo
procedimiento y en caso de dudas visuales sobre la gráfica, recurrir al primer
procedimiento para dirimir la duda respecto al par de esquinas.
Evaluar la función objetivo Z en cada una de las esquinas del área de
soluciones factibles.
Usando la función objetivo para determinar la esquina del área de soluciones factible que la optimiza.
Paso 1: Se
igualan las ecuaciones
Paso 2: Se le
dan valores de cero a x1 y x2 para hallar dos puntos de la recta.
Paso 3: Se
traza cada recta teniendo en cuenta la dirección del espacio restringido.
Paso 4: Luego
de graficar todas las restricciones y tener el área de solución factible se
grafica la función objetivo.
Paso 5: Para
graficar la función objetivos se le dan valores arbitrarios a la función, por
ejemplo
es la ecuación de una familia de rectas
paralelas, las que se generan cada vez que cambiemos el valor de Z.
1.
SOLUCIÓN ÚNICA
La solución es única cuando la
solución óptima se encuentra sólo en uno de los vértices.
El valor de la función objetivo en
cada una de las esquinas del área de soluciones factible es:
Al desplazar la función objetivo Z
hacia la derecha, el último punto a la derecha del área de soluciones factible
que toca es: X1 = 6, X2
= 4. Si las coordenadas del punto
extremo que representa la solución optima no es fácil de determinar, debemos
interceptar las ecuaciones de las restricciones
X1 + 2X2
= 14 con 2X1 - X2
= 8 Una manera de hacer esto es
empleando el método de los determinantes, que para un sistema de dos
ecuaciones y dos variables es:
2.
MULTIPLES SOLUCIONES
La
solución es múltiple cuando hay infinitas soluciones que se ven representadas
en la gráfica como un segmento de puntos que tiene por extremos dos vértices
del área de solución factible y que es paralela a la recta de la función
objetivo.
La solución óptima recae sobre
un lado del área de soluciones factible,
o sea que todos los puntos que pertenecen a la recta 5X1 + 2X2 = 10
entre los puntos (2,0) y (20/19,
45/19), maximizan la función objetivo, es quiere decir, que existen múltiples
soluciones, dos de ellas son: X1* = 2, X2*=0, Z* = 5 ó X1*
= 20/19, X2* = 45/19, Z* = 5
3.
SOLUCION INDETERMINADA
Cuando la función objetivo no tiene valores extremos, la
región factible es no acotada o indeterminada.
Al desplazar la función objetivo
hacia la derecha, siempre encontrará un punto más a la derecha del área de soluciones factible que la minimice. Entre
más a la derecha se encuentre un punto (X1, X2) que
pertenezca al área de soluciones
factibles, más pequeño será el valor
de la función objetivo y viceversa, como se observa en este ejemplo,
siempre habrá una alternativa de
encontrar un punto de solución más a la derecha, por ser un área abierta y sin
límites.
Si se está tratando un problema real y ocurre éste caso, falta
considerar una restricción, que cierre el área de soluciones factibles por
el lado derecho. Se ha dejado de
considerar la restricción de algún recurso, ya que los valores de las
variables en la realidad no pueden
crecer de manera ilimitada.
4.
SOLUCIÓN NO FACTIBLE
Cuando no existe región factible por
falta de zona común que encierren un área de soluciones. Este caso se presenta cuando entre las restricciones existen al menos
dos de ellas que sean excluyentes, tal como: X1 ≤ 2 y X1
≥ 4. Aquí nunca podremos encontrar un número que al mismo tiempo sea menor
ó igual a 2 y mayor ó igual a 4, las dos restricciones son
excluyentes y por lo tanto no existe área de soluciones factible, gráficamente
se observa de la siguiente manera:
Generalmente un par de variables de la vida real no tienen
este comportamiento.
2) Método Simplex
El Método Simplex es un método analítico de solución de problemas de programación lineal capaz de resolver modelos más complejos que los resueltos mediante el método gráfico sin restricción en el número de variables.
El Método Simplex es un método iterativo que permite ir mejorando la solución en cada paso. La razón matemática de esta mejora radica en que el método consiste en caminar del vértice de un poliedro a un vértice vecino de manera que aumente o disminuya (según el contexto de la función objetivo, sea maximizar o minimizar), dado que el número de vértices que presenta un poliedro solución es finito siempre se hallará solución.
Este famosísimo método fue creado en el año de 1947 por el estadounidense George Bernard Dantzig y el ruso Leonid Vitalievich Kantorovich, con el ánimo de crear un algoritmo capaz de solucionar problemas de m restricciones y n variables.
¿QUE ES UNA MATRIZ IDENTIDAD?
Una matriz puede definirse como una ordenación rectangular de elementos, (o listado finito de elementos), los cuales pueden ser números reales o complejos, dispuestos en forma de filas y de columnas.
La matriz idéntica o identidad es una matriz cuadrada (que posee el mismo número tanto de columnas como de filas) de orden n que tiene todos los elementos diagonales iguales a uno (1) y todos los demás componentes iguales a cero (0), se denomina matriz idéntica o identidad de orden n, y se denota por:
La importancia de la teoría de matrices en el Método Simplex es fundamental, dado que el algoritmo se basa en dicha teoría para la resolución de sus problemas.
OBSERVACIONES IMPORTANTES AL UTILIZAR MÉTODO SIMPLEX
VARIABLES DE HOLGURA Y EXCESO
El Método Simplex trabaja basándose en ecuaciones y las restricciones iniciales que se modelan mediante programación lineal no lo son, para ello hay que convertir estas inecuaciones en ecuaciones utilizando unas variables denominadas de holgura y exceso relacionadas con el recurso al cual hace referencia la restricción y que en el tabulado final representa el "Slack or surplus" al que hacen referencia los famosos programas de resolución de investigación de operaciones, estas variables adquieren un gran valor en el análisis de sensibilidad y juegan un rol fundamental en la creación de la matriz identidad base del Simplex.
Estas variables suelen estar representadas por la letra "S", se suman si la restricción es de signo "<= " y se restan si la restricción es de signo ">=".
Por ejemplo:
VARIABLE ARTIFICIAL / MÉTODO DE LA "M"
Una variable artificial es un truco matemático para convertir inecuaciones ">=" en ecuaciones, o cuando aparecen igualdades en el problema original, la característica principal de estas variables es que no deben formar parte de la solución, dado que no representan recursos. El objetivo fundamental de estas variables es la formación de la matriz identidad.
Estas variables se representa por la letra "A", siempre se suman a las restricciones, su coeficiente es M (por esto se le denomina Método de la M grande, donde M significa un número demasiado grande muy poco atractivo para la función objetivo), y el signo en la función objetivo va en contra del sentido de la misma, es decir, en problemas de Maximización su signo es menos (-) y en problemas de Minimización su signo es (+), repetimos con el objetivo de que su valor en la solución sea cero (0).
MÉTODO SIMPLEX PASO A PASO
EL PROBLEMA
La empresa el SAMÁN Ltda. Dedicada a la fabricación de muebles, ha ampliado su producción en dos líneas más. Por lo tanto actualmente fabrica mesas, sillas, camas y bibliotecas. Cada mesa requiere de 2 piezas rectangulares de 8 pines, y 2 piezas cuadradas de 4 pines. Cada silla requiere de 1 pieza rectangular de 8 pines y 2 piezas cuadradas de 4 pines, cada cama requiere de 1 pieza rectangular de 8 pines, 1 cuadrada de 4 pines y 2 bases trapezoidales de 2 pines y finalmente cada biblioteca requiere de 2 piezas rectangulares de 8 pines, 2 bases trapezoidales de 2 pines y 4 piezas rectangulares de 2 pines. Cada mesa cuesta producirla $10000 y se vende en $ 30000, cada silla cuesta producirla $ 8000 y se vende en $ 28000, cada cama cuesta producirla $ 20000 y se vende en $ 40000, cada biblioteca cuesta producirla $ 40000 y se vende en $ 60000. El objetivo de la fábrica es maximizar las utilidades.
PASO 4: DEFINIR LA TABLA SIMPLEX INICIAL
PASO 1: MODELACIÓN MEDIANTE PROGRAMACIÓN LINEAL
Ø Las variables:
X1 = Cantidad de mesas a producir (unidades)
X2 = Cantidad de sillas a producir (unidades)
X3 = Cantidad de camas a producir (unidades)
X4 = Cantidad de bibliotecas a producir (unidades)
Ø Las restricciones:
2X1 + 1X2 + 1X3 + 2X4 <= 24
2X1 + 2X2 + 1X3 <= 20
2X3 + 2X4 <= 20
4X4 <= 16
X1, X2 ,X3 ,X4 >=0
Ø La función Objetivo:
ZMAX = 20000X1 + 20000X2 + 20000X3 + 20000X4
PASO 2: CONVERTIR LAS INECUACIONES EN ECUACIONES
En este paso el objetivo es asignar a cada recurso una variable de Holgura, dado que todas las restricciones son "<=".
2X1 + 1X2 + 1X3 + 2X4 + 1S1 + 0S2 + 0S3 + 0S4 = 24
2X1 + 2X2 + 1X3 + 0X4 + 0S1 + 1S2 + 0S3 + 0S4 = 20
0X1 + 0X2 + 2X3 + 2X4 + 0S1 + 0S2 + 1S3 + 0S4 = 20
0X1 + 0X2 + 0X3 + 4X4 + 0S1 + 0S2 + 0S3 + 1S4 = 16
De esta manera podemos apreciar una matriz identidad (n = 4), formado por las variables de holgura las cuales solo tienen coeficiente 1 en su respectivo recurso, por el ejemplo la variable de holgura "S1" solo tiene coeficiente 1 en la restricción correspondiente a el recurso 1.
La función objetivo no sufre variaciones:
ZMAX = 20000X1 + 20000X2 + 20000X3 + 20000X4
PASO 3: DEFINIR LA SOLUCIÓN BÁSICA INICIAL
El Método Simplex parte de una solución básica inicial para realizar todas sus iteraciones, esta solución básica inicial se forma con las variables de coeficiente diferente de cero (0) en la matriz identidad.
1S1 = 24
1S2 = 20
1S3 = 20
1S4 = 16
Solución: (segundo término)= En esta fila se consigna el segundo término de la solución, es decir las variables, lo más adecuado es que estas se consignen de manera ordenada, tal cual como se escribieron en la definición de restricciones.
Cj = La fila "Cj" hace referencia al coeficiente que tiene cada una de las variables de la fila "solución" en la función objetivo.
Variable Solución = En esta columna se consigna la solución básica inicial, y a partir de esta en cada iteración se van incluyendo las variables que formarán parte de la solución final.
Cb = En esta fila se consigna el valor que tiene la variable que se encuentra a su derecha "Variable solución" en la función objetivo.
Zj = En esta fila se consigna la contribución total, es decir la suma de los productos entre término y Cb.
Cj - Zj = En esta fila se realiza la diferencia entre la fila Cj y la fila Zj, su significado es un "Shadow price", es decir, la utilidad que se deja de recibir por cada unidad de la variable correspondiente que no forme parte de la solución.
Solución inicial:
PASO 5: REALIZAR LAS ITERACIONES NECESARIAS
Este es el paso definitivo en la resolución por medio del Método Simplex, consiste en realizar intentos mientras el modelo va de un vértice del poliedro objetivo a otro.
El procedimiento a seguir es el siguiente:
- Evaluar que variable entrará y cual saldrá de la solución óptima:
2. El hecho de que una variable distinta forme parte de las variables solución implica una serie de cambios en el tabulado Simplex, cambios que se explicarán a continuación.
- Lo primero es no olvidar el valor del "a" correspondiente a la variables a entrar, en este caso el "a = 4".
- Lo siguiente es comenzar a rellenar el resto de la tabla, fila x fila.
- Se repite este procedimiento con las dos filas restantes, ahora se harán los cálculos correspondientes en el resto de las celdas.
De esta manera se culmina la primera iteración, este paso se repetirá cuantas veces sea necesario y solo se dará por terminado el método según los siguientes criterios.
- Continuamos con las iteraciones para lo cual tenemos que repetir los pasos anteriores.
En esta última iteración podemos observar que se cumple con la consigna Cj - Zj <= 0, para ejercicios cuya función objetivo sea "Maximizar", por ende hemos llegado a la respuesta óptima.
X1 = 3
X2 = 4
X3 = 6
X4 = 4
Con una utilidad de: $ 340000
Sin embargo una vez finalizado el Método Simplex se debe observar una matriz identidad en el rectángulo determinado por las variables de decisión, el hecho de que en este caso no se muestre la matriz identidad significa que existe una solución óptima alterna.
La manera de llegar a la otra solución consiste en alterar el orden en que cada una de las variables entro a la solución básica, recordemos que el proceso fue decidido al azar debido a la igualdad en el Cj - Zj del tabulado inicial. Aquí les presentamos una de las maneras de llegar a la otra solución.
Podemos observar como existe una solución óptima alternativa en la cual la combinación de variables es distinta y existe un menor consumo de recursos, dado que el hecho de que se encuentre la variable "S1" en la solución óptima con un coeficiente de "3" significa que se presenta una holgura de 3 unidades del recurso (pieza rectangular de 8 pines).
X1 = 0 (Cantidad de mesas a producir = 0)
X2 = 7 (Cantidad de sillas a producir = 7)
X3 = 6 (Cantidad de camas a producir = 6)
X4 = 4 (Cantidad de bibliotecas a producir = 4)
S1 = 3 (Cantidad de piezas rectangulares de 8 pines sin utilizar =3)
Con una utilidad de: $ 340000
BIBLIOGRAFIA:
INGENIEROS INDUSTRIALES. (En línea) consultado el 15 de mayo del
2012.Disponible en: http://ingenierosindustriales.jimdo.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/m%C3%A9todo-simplex/
